В царстве смекалки (1908): Мужик и чёрт, Что сказал старик, Фальшивая бумажка, Велосипедисты и муха, Путешественники и гамбургеры

Сюжет. Человек надеется легко разбогатеть, воспользовавшись хитрым, как ему кажется, способом. Его деньги должны приумножаться, а взамен нужно каждый раз отдавать оговорённую сумму. В предвкушении богатства герой повторяет одни и те же действия, но в конце остаётся ни с чем.

Происхождение. Одним из ближайших ранних родственников «Мужика и чёрта» можно считать «Три церкви» — задачу, которую традиционно приписывают Анании Ширакаци и относят к VII веку, то есть к 600-м годам. У меня есть факты! (но они у бабушки в деревне). Поэтому рассматриваем пока это как гипотезу.

Чтобы не превращать этот раздел в энциклопедию, близкие, дальние и более ранние родственники этой задачи подробнее рассмотрены в отдельном разборе на этом сайте — «Три церкви: притча в арифметической обёртке» 🔗.

Здесь речь пойдёт именно о «Мужике и чёрте» в его сказочной, притчевой форме.

Русский вариант можно прочитать в книге Емельяна Игнатьевича Игнатьева «В царстве смекалки», впервые изданной в 1908 году. 🔗 (издание 1911 года; печатная стр. 55; кадр 28; задача №38).

Самый ранний след такого сюжета, который мне удалось найти, относится к 1803 году — это рассказ Иоганна Петера Гебеля, известный под названием «Erstes Rechnungs-Exempel» («Первый арифметический пример»). Злой дух обещает удваивать деньги человека при переходе через мост. Взамен на обратном пути нужно бросать в воду 24 крейцера. После трёх таких повторений герой остаётся без денег.

Прочитать рассказ можно в скане сборника «Schatzkästlein des rheinischen Hausfreundes» («Шкатулка рейнского домашнего друга»), изданного в 1811 году. 🔗 (печатные стр. 10–11; кадры 24–25).

Сказочная форма как смысл. У этой задачи есть второй смысловой ряд. Числа позволяют восстановить, что произошло с деньгами, а рассказ — задуматься о том, что произошло с человеком. Здесь имеют значение его намерения, обещания и представление о собственной выгоде. Математическое условие здесь одновременно читается как притча.

Для арифметики неважно, кому достаётся оговорённая сумма. Тот же расчёт можно было бы изложить как обычную задачу о доходах и расходах. Но здесь человек связывается с чёртом в надежде легко разбогатеть.

Эволюция образа. В рассказе Гебеля 1803 года есть осуждение праздности: его герой предпочитает лёгкое обогащение труду.

У Игнатьева герой — «мужик», то есть крестьянин. Сословное неравенство, наследие крепостного права и ограниченный доступ к образованию составляют исторический фон этого образа. Для читателя того времени за ним мог стоять и сословный стереотип — представление о крестьянине как о грубом, невежественном человеке. Это возможный оттенок восприятия образа, а не установленный замысел автора. Сам герой начинает рассказ с жалобы на нужду: его мечта о богатстве связана с желанием вырваться из бедности.

У Бориса Анастасьевича Кордемского задача называется «Бездельник и чёрт» 🔗 («Математическая смекалка», 1956; печатная стр. 160; задача №218). Уже название выдвигает на первый план отношение героя к труду. Автор сразу подчёркивает его нежелание учиться и работать, противопоставляя его людям «сознательного и радостного труда». Так знакомый сюжет получает выраженное советское звучание.

Если вернуться к «Трём церквям», традиционно приписываемым Анании Ширакаци, в поступках героя можно увидеть ещё более дерзкий расчёт. Человек словно решается побороться с самим Богом: обещает пожертвование, а сам надеется благодаря чуду разбогатеть.

Краткая хронология.

• VII век: «Три церкви» — задача, традиционно приписываемая Анании Ширакаци.
• VII–XVIII века: в задачах разных стран сходная арифметическая основа встречается в разных сюжетных формах.
• 1803: Гебель — самый ранний найденный мной вариант с удвоением денег, мостом и злым духом.
• 1908: «Мужик и чёрт» у Игнатьева, «В царстве смекалки».
• 1956: «Бездельник и чёрт» у Кордемского, «Математическая смекалка».

Итог. Задача используется в математических кружках и олимпиадной подготовке — например, в сборнике «Олимпиада с нуля» (2023, задача №146). Её решают обратным счётом или с помощью уравнения. Меняя суммы, число повторений и условия приумножения денег, можно составлять новые варианты.

В задаче обещанное приумножение денег сопровождается обязательными выплатами — оба действия приходится учитывать вместе. Сюжет узнаваем и сегодня: продавцы сомнительных инвестиций и инфоцыгане обещают быстрый доход, подкрепляя слова картинками красивой жизни в соцсетях. Как и герой задачи, человек надеется найти простой способ разбогатеть.

Сюжет. Двое заключают странный спор: в скачке выигрывает тот, чья лошадь придёт последней. И сразу возникает парадокс — лучший ход не стартовать. Старик вмешивается и говорит одно слово. После этого “невыгодная гонка” вдруг становится возможной: правило, которое держало их на месте, перестаёт работать против движения. Задача — про то, как одна короткая команда ломает тупик, не добавляя ни скорости, ни силы, ни новых условий.

Происхождение. Самый ранний печатный вариант задачи о двух всадниках и совете старика, который я смог найти, опубликован у Емельяна Игнатьевича Игнатьева в «В царстве смекалки» — книга 1, 1908 год, задача № 10 «Что сказал старик?».

Текст задачи доступен в скане издания 1911 года. 🔗 (стр. 30–31, кадр 16.)

Авторство самой загадки пока остаётся неизвестным. Игнатьев собирал материал из разных источников, а наличие задачи в его книге само по себе не доказывает, что он её придумал. Более ранние описания похожих состязаний позволяют рассмотреть возможные предпосылки сюжета, но установить, когда и кем они были превращены в знакомую загадку, мне пока не удалось.

Гонки наоборот в старых книгах и газетах.

1830: чтобы победить, подгоняй соперника. В книге Three Courses and a Dessert («Три блюда и десерт») описано необычное состязание: никто не едет на собственной лошади, а выигрывает всадник, прибывший последним. Участники с длинными хлыстами стараются погнать чужих лошадей вперёд и оставить себя позади. В рассказе победителем становится всадник, отставший от всех соперников как минимум на семь корпусов. Здесь другое правило победы, но сочетание чужих лошадей и гонки «наоборот» уже присутствует. 🔗 (PDF 46, печатная с. 40, рассказ Caddy Cuddle — «Кэдди Каддл».)

1859: приз самой медленной лошади. Газета The Penny Press («Пенни-пресс») от 12 октября 1859 года сообщает о предстоящем состязании на ярмарке в Конкорде. Денежный приз должна получить самая медленная лошадь, причём каждый участник обязан ехать на чужой. Автор заметки представляет это как забаву, прежде невиданную в Новой Англии. Таким образом, знакомое сочетание правил встречается в газетном объявлении о соревновании. 🔗 (Первая полоса, раздел NEWS AND GOSSIP, абзац «At the Merrimack County Fair…».)

Сходные правила встречаются и в описании скачек в Мичигане, опубликованном в 1876 году.

1873: теперь меняемся лодками. Новозеландская газета Star («Звезда») от 31 октября 1873 года анонсирует парусную гонку в Кайапои. Владельцы должны обменяться лодками, а приз предназначается последней прибывшей лодке. Но предусмотрено и поощрение за скорость: экипаж первой лодки получает собранные вступительные взносы. Получается состязание сразу с двумя поводами бороться за результат — первым и последним местом. 🔗 (прокрутите газетную колонку вниз до заметки Sailing Race — «Парусная гонка», расположенной в начале подборки.)

1958: англоязычная версия задачи. В книге Георгия Антоновича Гамова и Марвина Стерна Puzzle Math («Математические головоломки») опубликована задача Horse Race in Reverse («Скачки наоборот»).

Скучающий в пустыне англичанин замечает двух бедуинов и предлагает им необычное развлечение: гонку до далёкой пальмы. Золотую гинею получит тот, чья лошадь придёт последней. Бедуины принимают предложение, но каждый придерживает своего коня, поэтому состязание почти не продвигается.

Когда всадники уже готовы отказаться от гонки, появляется дервиш — мусульманский подвижник. Бедуины объясняют ему условие и предлагают просто разделить деньги или договориться, что победитель отдаст выигрыш другому. Дервиш настаивает на честном соблюдении договора и шепчет им совет. После этого оба вскакивают в седло и мчатся к пальме во весь дух. 🔗 (PDF 10–11.)

В современных сетевых пересказах задача живёт как копипаста в новых декорациях — «ковбои», «наследство», «стадион» и т. п. Если вы узнаёте знакомый сюжет — это как раз оно.

Итог. Это задача на креативное мышление, облечённая в рассказ о мудром совете. У Игнатьева выход из тупика подсказывает старик, многое повидавший на своём веку. В английской версии образ дервиша и его наставление о честности придают истории оттенок религиозной притчи: смекалка помогает добиться своего, сохраняя верность договору.

Описания реальных состязаний XIX века показывают, что принцип «гонки наоборот» существовал задолго до найденных мной публикаций самой загадки. У книжной истории обнаруживаются любопытные параллели в жизни. Однако сходство ещё не доказывает ни копирования, ни заимствования, ни передачи сюжета от одного автора к другому.

Выросла ли загадка из подобных состязаний, прошла через устные пересказы или возникла независимо — найденные источники пока оставляют этот вопрос открытым. Какое объяснение кажется убедительнее, пусть читатель решит сам.

Сюжет. На вид это простая торговая задачка про покупку, сдачу и фальшивую купюру. Но её сила не в арифметике как таковой, а в ловушке восприятия: в условие подмешан лишний ход, который хочется тоже включить в убыток, хотя сам по себе он ничего не меняет. Именно на этом месте задача сбивает и заставляет считать не то, что реально потеряно.

Происхождение. В русской линии самый ранний найденный нами печатный источник — Е. И. Игнатьев, «В царстве смекалки. Книга 1» (1908): в содержании стоит задача 25 — «Фальшивая бумажка» 🔗. Скан издания 1911 года подтверждает ту же задачу под тем же номером и названием 🔗.

Однако этот сюжет встречается в печати ещё до книги Игнатьева. В The Magician’s Own Book («Книга фокусника», 1857) на странице 245 помещена задача The Unlucky Hatter («Невезучий шляпник»). 🔗

Перевод условия. «Мошенник, проезжавший через один город в Огайо, купил шляпу за 8 долларов и расплатился купюрой в 50 долларов. Шляпник обратился к торговцу по соседству, который разменял ему купюру. Получив 42 доллара сдачи, мошенник ушёл. На следующий день торговец обнаружил, что купюра фальшивая, и потребовал от шляпника вернуть деньги. Шляпнику пришлось немедленно занять у другого приятеля 50 долларов, чтобы рассчитаться с торговцем. Когда же он стал искать мошенника, оказалось, что тот уже уехал из города. Поддельная купюра осталась у шляпника и не имела никакой ценности. Что же он потерял: 50 долларов и шляпу сверх того или 50 долларов, включая стоимость шляпы?»

Профессор Хоффман (автор книги) поместил в Puzzles Old and New («Старые и новые головоломки», 1893) под №43 задачу What Did He Lose? («Что он потерял?»), стр. 153–154. 🔗

Перевод условия. «Человек заходит в магазин и покупает шляпу за одну гинею. В уплату он предлагает банкноту в 5 фунтов стерлингов. Шляпник разменивает банкноту у соседа, а покупатель забирает сдачу — 3 фунта 19 шиллингов — и уходит со шляпой. Но едва он успевает уйти, как сосед, разменявший банкноту, приходит с известием, что она фальшивая, и шляпнику приходится вернуть ему деньги. Каков убыток шляпника от этой сделки?»

Интересный факт. Дэвид Сингмастер (исследователь головоломок) указал на ошибку в решении Профессора Хоффмана. Хоффман объявляет неверным ответ «сдача плюс стоимость шляпы». Шляпу он считает оплаченной деньгами, оставшимися после выдачи сдачи. Но эти деньги продавец тоже возвращает соседу за фальшивую купюру. Шляпа отдана, а оплаты за неё в итоге нет — именно это упущено в рассуждении. Ошибочное решение напечатано на страницах 205–206. 🔗

В книге Сэмюэла И. Джонса Mathematical Wrinkles for Teachers and Private Learners («Математические хитрости для учителей и самостоятельных занятий», 1912) приведён вариант с покупкой ботинок и фальшивой купюрой — задача 35, печатная стр. 63 (PDF-страница 75 из 344). 🔗

Перевод условия. «Мальчик купил пару ботинок за 2 доллара и расплатился купюрой в 10 долларов. Продавец попросил приятеля разменять купюру и выдал мальчику сдачу. Мальчик покинул город с ботинками и 8 долларами. Приятель вернул купюру, сказав, что она фальшивая, и продавцу пришлось отдать ему взамен настоящие деньги. Каков был убыток продавца?»

А у Шакунталы Деви в книге Puzzles to Puzzle You («Головоломки, чтобы озадачить вас», 1976) сюжет появляется в индийской версии — уже с велосипедом и дорожными чеками, №6 Bicycle Thieves («Похитители велосипеда»), печатная стр. 13 (PDF-страница 15 из 140). 🔗

Перевод условия. «Мой приятель держит велосипедный магазин. Он рассказал мне следующую историю. Однажды в магазин пришёл человек, похожий на туриста, и купил велосипед за 350 рупий. Закупочная цена велосипеда составляла 300 рупий, и мой приятель был доволен прибылью в 50 рупий. Однако при расчёте турист предложил расплатиться дорожными чеками, поскольку наличных у него не было. Мой приятель заколебался: у него не было договорённости с банками об обналичивании дорожных чеков. Но он вспомнил, что хозяин соседнего магазина имел такую возможность, отнёс чеки соседу и получил от него наличные. Каждый чек был выписан на 100 рупий, поэтому мой приятель взял у туриста четыре чека на общую сумму 400 рупий. Обналичив их, он вернул туристу 50 рупий сдачи. Турист радостно сел на велосипед и уехал, насвистывая мелодию. Но на следующее утро сосед, отнёсший дорожные чеки в банк, пришёл к моему приятелю, вернул оказавшиеся недействительными чеки и потребовал вернуть деньги. Мой приятель молча вернул соседу деньги и попытался разыскать туриста, который отдал ему негодные чеки и увёз велосипед. Однако найти туриста не удалось. Сколько всего потерял мой приятель в результате этой неудачной сделки?»

Откуда взялся Л. Н. Толстой. Позднее у этого сюжета началась уже не книжная, а сетевая биография. В русскоязычном интернете особенно широко разошёлся вариант про продавца шапок, фальшивую купюру и сдачу; именно его стали массово пересказывать как «задачу Толстого для второго класса церковно-приходской школы». Начиная как минимум с середины 2000-х, задача встречается на самых разных площадках — от форумов и развлекательных сайтов до образовательных и методических перепечаток. Примечательно, что её текст при этом почти не меняется. Часть публикаций подаёт эту версию прямо, часть — осторожнее, с оговоркой: «по легенде, это задача Л. Н. Толстого».

Проверяя пересказы, связывающие задачу с Толстым, Яснополянской школой и «вторым классом церковно-приходской школы», я не обнаружил её в арифметической части «Азбуки». Другие источники, с которыми удалось ознакомиться, также не дали подтверждений этой версии.

Здесь и возникает почти готовый эффект Манделы: многократно повторённая версия начинает восприниматься как установленный факт. Читатель запоминает уже не источник, а знакомую приписку. Вероятнее всего, перед нами обычный механизм сетевой легенды — копирование без проверки первоисточника, пересказ чужого пересказа, утрата исходной ссылки и постепенное обрастание красивыми подробностями. Чем дольше такая формула живёт в массовом обороте, тем убедительнее она выглядит, даже если проверяемые источники её не подтверждают.

Краткая хронология.

• 1857 — The Magician’s Own Book («Книга фокусника»): задача The Unlucky Hatter («Невезучий шляпник»).
• 1893 — Профессор Хоффман, Puzzles Old and New: задача What Did He Lose? («Что он потерял?»).
• 1908 — Е. И. Игнатьев, «В царстве смекалки. Книга 1»: задача 25 — «Фальшивая бумажка».
• 1912 — вариант с ботинками и фальшивой купюрой.
• 1976 — Шакунтала Деви, Puzzles to Puzzle You: №6 Bicycle Thieves, индийская версия с велосипедом.
• Конец XX — XXI век — новые публикации, пересказы и локальные варианты продолжают появляться в разных странах и на разных площадках.

Перечисленные точки — лишь часть гораздо более длинной истории; промежутки между ними заполнены изданиями, которые здесь не учтены.

Итог. Самое раннее найденное мной печатное упоминание этого сюжета относится к 1857 году — за 15 лет до выхода «Азбуки» Льва Николаевича Толстого в 1872 году. Но и эта публикация может оказаться не первой.

«Фальшивая бумажка» легко переживает смену эпох, стран и бытовых декораций: в одних версиях продают шляпу, в других — ботинки или велосипед; меняются деньги и детали, но общая конструкция задачи сохраняется.

Кажущаяся простота подталкивает к поспешному ответу: человеку кажется, что он всё понял с первого взгляда, и именно поэтому он пропускает ловушку. В неё попался даже Профессор Хоффман, опубликовавший ошибочное решение в собственном сборнике головоломок. Возможно, в этом и кроется причина долгой жизни «Фальшивой бумажки» — и как учебного примера, и как массового интернет-сюжета.

Сюжет. Сюжет этой задачи очень прост: два объекта движутся навстречу друг другу, а между ними мечется третий — животное, насекомое или кто-то ещё. Он успевает добежать или долететь от одного к другому, разворачивается и снова движется обратно. Так продолжается до тех пор, пока два главных участника не встретятся.

На первый взгляд кажется, что нужно считать каждый отдельный пробег или перелёт: первый, второй, третий, потом ещё и ещё. Именно в этом и состоит ловушка. Задача специально заставляет смотреть на цепочку мелких движений, хотя для решения важнее совсем другое — сколько времени пройдёт до встречи двух основных участников.

Происхождение. Как настоящий профессиональный дилетант, я начал не с «архивной пыли», а с чужих следов: посмотрел, что уже накопали западные исследователи. Главный ориентир — библиографическая сводка Дэвида Сингмастера Sources in Recreational Mathematics, раздел 10.B “Fly Between Trains” («Муха между поездами») 🔗. Внутри страницы нужный раздел ищется через Ctrl+F: 10.B. FLY BETWEEN TRAINS.

Западная хронология выглядит так:

• 1906 — Шарль-Анж Лезан, Le chien et les deux voyageurs («Собака и два путника»), задача 53, стр. 193–194 🔗.
• 1924 — по библиографической сводке Дэвида Сингмастера, задача уже упоминается у Годфри Харди в письме к М. Рису от 5 января 1924 года. Сингмастер ссылается на статью M. L. Cartwright в научном журнале Bulletin of the London Mathematical Society (1982), стр. 502 🔗.
• 1925 — Генри Дьюдени, The Fly and the Motor-Cars («Муха и автомобили»), The Strand Magazine, June 1925. В индексе Кнута: PDF стр. 21 из 37; в журнале — стр. 634 🔗.
• 1934 — Феликс Джон, The Fly and the Bicycles («Муха и велосипеды»), School Science and Mathematics, vol. 34, no. 3, March 1934, стр. 304 🔗.
• 1961 — Мартин Гарднер, The Bicycles and the Fly («Велосипеды и муха»), стр. 27–28 🔗.

И тут интересный перекос: Игнатьева в этой западной хронологии нет. А в первом издании «В царстве смекалки» 1908 года задача уже стоит в содержании как №26 — «Велосипедисты и муха» 🔗. Сам текст задачи удобно смотреть по скану издания 1911 года 🔗.

Выше в статье уже было сказано, что Игнатьев работал как собиратель: брал материал из европейских сборников, русских журналов, печатных задач и устной среды. Поэтому его версия не обязательно была выдумкой с нуля — она могла быть фиксацией уже ходившего задачного сюжета.

Позже похожий сюжет продолжил жить в советских сборниках. У Бориса Кордемского в «Математической смекалке» задача снова появляется в варианте с велосипедистами и мухой: задача 38 — «Беспокойная муха», стр. 27 🔗.

В 1972 году эта советская версия была переведена на английский в книге The Moscow Puzzles («Московские головоломки») под названием The Restless Fly («Неугомонная муха»), задача 38, стр. 15 🔗. Но это не источник западной хронологии 1920–1960-х годов: к тому моменту похожие задачи уже давно существовали на английском. Скорее это отдельный поздний мостик: русская/советская линия → английский перевод.

Поэтому самая осторожная гипотеза такая: возможно, у этой задачи есть более древний общий родственник — простой сюжет о третьем участнике, который движется между двумя другими. А хронология XX века показывает уже не рождение задачи, а то, как этот сюжет постепенно обрастал новыми оболочками: собака, муха, пчела, автомобили, поезда, велосипедисты.

Интересный факт. В западных пересказах часто подчёркивают, что у этой задачи есть два решения: короткое и длинное — через бесконечный ряд. Оба математически могут привести к правильному ответу. Но в занимательной арифметике акцент другой: сложный путь здесь не достоинство, а ловушка.

Это хорошо видно уже у Игнатьева. В комментарии к решению он пишет, что решатели часто пускаются в «тонкие» рассуждения и пытаются следить за каждым полётом мухи, хотя задача устроена так, чтобы простой ход оказался важнее всей этой суеты.

Легенда о фон Неймане. Есть легенда, которая, по некоторым версиям, добавила этой задаче популярности именно на Западе. Однажды кто-то задал её Джону фон Нейману — одному из величайших математиков XX века. Тот ответил мгновенно. Собеседник обрадовался: «Значит, вы сразу увидели простой способ?» Фон Нейман удивился: «Какой простой способ? Я просто быстро просуммировал ряд».

Поэтому легенда о фон Неймане звучит почти как шутка внутри шутки. По ней он дал правильный ответ, но пошёл не тем путём, ради которого обычно и придумывают такие задачи. Он как будто решил её блестяще, но всё равно “попался” на ловушку: начал считать то, что считать было не нужно.

Правда, биограф фон Неймана осторожно замечает, что история, скорее всего, апокрифична 🔗. Но это почти не важно. Хорошая легенда — это тоже оболочка. Ещё одна.

Сюжет. В старой версии задачи трое крестьян остановились на постоялом дворе, попросили хозяйку сварить картофель и уснули. Ночью они просыпались по одному. Каждый, не зная о предыдущих, считал себя первым и съедал треть картофелин, находившихся в чашке. Когда проснулись все трое, в чашке осталось восемь картофелин. Требовалось определить, сколько картофелин было первоначально, сколько съел каждый крестьянин и как разделить остаток, чтобы в итоге всем досталось поровну.

Происхождение. Задача «Крестьяне и картофель» уже присутствует в первом издании книги Емельяна Игнатьевича Игнатьева «В царстве смекалки», вышедшем в Санкт-Петербурге в 1908 году. В книге она помещена под № 39 в разделе «Дележи при затруднительных обстоятельствах».

Сам текст задачи удобно посмотреть по скану второго издания 1911 года: задача № 39 «Крестьяне и картофель», стр. 57, кадр просмотрщика 29 🔗.

Более раннего печатного варианта именно в такой фольклорной оболочке, в котором трое спящих товарищей по очереди просыпаются, считают себя первыми и берут одну и ту же долю из общей кучи, мне найти не удалось. Но это ещё не означает, что вся задача впервые появилась именно у Игнатьева. Её сюжет мог существовать в устных пересказах, а математическая схема последовательного деления изменяющегося остатка явно заслуживает отдельного и более глубокого изучения.

Давайте проведём небольшой эксперимент. В задаче Игнатьева сразу несколько вопросов. Выберем один: сколько картофелин было в чашке первоначально? Мы знаем конец истории и должны обратным ходом восстановить её начало.

Такое же движение мысли требуется в рассмотренной выше задаче «Мужик и чёрт» 🔗. Но фольклорная оболочка полностью меняет её восприятие: вместо трёх крестьян, картофеля и постоялого двора появляются мужик, деньги, мост и чёрт. Математические действия различаются, но знакомая идея обратного хода выглядит уже как совсем другая головоломка.

Теперь возьмём другой вопрос: сколько съел каждый? Здесь нас интересуют уже три отдельных количества. Изменим и само условие: вместо общей чашки дадим каждому участнику личный запас монет, а поедание заменим передачами друг другу. Получится задача Клода Гаспара Баше де Мезириака о трёх игроках из сборника, впервые изданного в 1612 году. На нашем сайте она называется «Щедрость идиотов» 🔗.

Наконец, добавим в общую кучу один лишний предмет. Теперь при каждом делении остаётся единица, которую нельзя поделить между участниками. Нужно найти целое число, подходящее сразу для нескольких таких делений. Это уже диофантовая задача. К одной такой диофантовой версии мы перейдём ниже.

За восемнадцать лет до первого издания книги Игнатьева, в 1890 году, английский математик Уолтер Уильям Роуз Болл включил похожую задачу в книгу Elementary Algebra («Элементарная алгебра»). Она помещена в разделе Indeterminate Equations («Неопределённые уравнения»): задача № 12, стр. 260 🔗.

Отдельного названия у задачи нет. Её текст начинается словами Three Arab jugglers, travelling to Mecca… («Три арабских фокусника, направлявшиеся в Мекку…»).

Фокусники купили корзину фиников и ночью просыпались по одному. Каждый отдавал один лишний финик дрессированной обезьяне, а затем съедал треть остатка. Утром оставшиеся финики снова можно было разделить между троими, но опять оставался один лишний. Требовалось определить наименьшее первоначальное количество фиников.

Общая куча, трое спящих товарищей и последовательное поедание трети почти буквально напоминают «Крестьян и картофель». Но лишний финик меняет математическую схему: конечное количество заранее не дано, а исходное число должно одновременно подходить для всех делений. Поэтому у Роуза Болла задача уже прямо рассматривается среди неопределённых уравнений.

Древнее математическое ядро. Однако похожий способ работы с меняющимся остатком встречается намного раньше.

Около 850 года математик Махавира включил в Gaṇita-sāra-saṅgraha («Собрание сущности математики») задачу, в которой одно и то же действие трижды повторяется с меняющимся остатком. В проверенном английском переводе 1912 года это пункты 132½–133½, печатная стр. 125, кадр 313 🔗.

Человек пришёл в джайнский храм с цветами. Трижды он повторил один и тот же порядок: сначала поднёс один цветок, затем треть оставшихся. После третьего раза остаток был разделён на три равные части, и все цветы оказались израсходованы. Требовалось определить, сколько цветов было первоначально.

Здесь ещё нет спящих товарищей, постоялого двора или обезьяны. Но математическое ядро уже узнаваемо: общий запас меняется после каждого действия, а первоначальное целое число нужно восстановить по последовательным долям остатка.

Интересный факт. Позднее этот головоломочный сюжет вышел за пределы математических сборников. 9 октября 1926 года американский писатель Бен Эймс Уильямс опубликовал в журнале The Saturday Evening Post рассказ Coconuts («Кокосы»), полный текст 🔗.

В рассказ вошла родственная задача о пяти моряках и обезьяне. Моряки собрали на острове кокосы и ночью просыпались по одному. Каждый делил оставшуюся кучу на пять частей, отдавал лишний кокос обезьяне, прятал свою долю и снова засыпал. Утром оставшиеся кокосы удалось разделить поровну. Требовалось определить их первоначальное количество.

Головоломка у Уильямса стала частью действия. Один из героев рассказывает её сопернику, зная о его страсти к математике. Тот настолько увлекается поиском решения, что пропускает срок подачи важной заявки. Так бродячая задача не просто попала в художественный рассказ, а стала двигателем его сюжета.

Итог. Евгений Игнатьевич Игнатьев был не автором всех собранных им задач, а педагогом, составителем и популяризатором занимательной математики. Источники, из которых он черпал материал, перечислены выше, в разделе о книге: европейские сборники, русские издания, отдельные заимствования и задачи, услышанные в устных пересказах.

Откуда именно появилась задача № 39, установить не удалось. Родственные задачи и способы решения, с которыми мы её сравнивали, в разных формах встречаются и в книге Игнатьева, но это не указывает на конкретный источник. Поэтому можно лишь предположить, что крестьяне, постоялый двор и картофель — русская фольклорная оболочка своего времени, обработанная Игнатьевым или взятая им из уже ходивших пересказов. Именно эта оболочка вместе с поставленными вопросами превратила старую математическую схему в самостоятельную головоломку.

Мы предлагаем решить её в современной обёртке. Крестьяне уступили место путешественникам, картофель — гамбургерам, а старая история о дележе попала в эпоху неправильного питания и ожирения. Математика пережила очередную смену времени: изменились герои и меню, а задача осталась прежней.