Задачи Алкуина. Часть II

Сюжет. Троим людям нужно разделить запас одинаковых сосудов. Одни наполнены доверху, другие — наполовину, остальные пусты. Переливать содержимое нельзя, но каждый должен получить поровну и сосудов, и того, что в них находится.

Происхождение. Документальная история задачи начинается около 800 года. В сборнике Propositiones ad acuendos iuvenes («Задачи для изощрения юношества»), традиционно приписываемом Алкуину Йоркскому, она записана под № 12 — Propositio de quodam patrefamilias et tribus filiis eius («Задача о некоем домовладыке и трёх его сыновьях») 🔗 (издание Менсо Фолькертса, 1978; PDF-страница 41 из 72; печатная стр. 51).

Умирающий отец оставляет трём сыновьям 30 стеклянных сосудов: десять полных масла, десять наполненных наполовину и десять пустых. Наследство нужно разделить так, чтобы каждый получил поровну и сосудов, и масла.

В книге Adventures in Recreational Mathematics («Приключения в занимательной математике») Дэвид Сингмастер прямо называет эту задачу самым ранним известным примером Barrel Sharing Problem («задачи о разделе бочек») 🔗 (кадр 66–67 из 494; печатная стр. 51).

Мне также не удалось найти ни более раннего примера именно такой схемы дележа, ни более ранних следов самого сюжета. Получается редкая ситуация: в сохранившихся источниках мы видим не постепенное развитие условия, а сразу готовую головоломку. Это ещё не означает, что её придумал Алкуин. Мы можем утверждать только одно: известная нам письменная история задачи начинается с его сборника.

Как менялась задача. У Алкуина был один правильный раздел тридцати сосудов. Позднее задача получила другие числа, а авторы стали искать уже не один ответ, а все возможные.

В 1556 году Никколо Тарталья включил в General trattato di numeri et misure («Общий трактат о числах и мерах») вариант с 27 сосудами — по девять полных, наполовину полных и пустых. Он привёл только один способ раздела.

В 1612 году Клод-Гаспар Баше де Мезириак вернулся к двум примерам Тартальи. Сначала он разобрал задачу с 21 бочкой — по семь каждого вида — и нашёл два решения. Затем Баше показал все три решения для 27 бочек, прямо отметив, что Тарталья указал только одно 🔗 (задача IX, стр. 161–163).

Русский след задачи появляется не позднее 1877 года. Самый ранний найденный мной русскоязычный источник — книга Баше «Игры и задачи, основанные на математике». Вариант с 21 бочкой напечатан там под № IX на стр. 165 🔗 (кадр просмотрщика 84).

Так одна и та же схема дала разные задачи: в варианте с 21 бочкой два решения, с 27 — три, а с 30 сосудами — пять. Количество сосудов меняет не только условие, но и число возможных дележей. За этим рядом стоит отдельная математическая закономерность.

Интересный факт. Числа 2, 3 и 5, встретившиеся в разных вариантах задачи, не случайны. Представим общее условие: есть по одинаковому числу полных, наполненных наполовину и пустых сосудов.

Требование разделить поровну и сосуды, и содержимое приводит к простому правилу: каждый участник должен получить столько же пустых сосудов, сколько полных. Поэтому всё решение зависит от того, как распределить полные сосуды между тремя людьми.

Если менять количество сосудов каждого вида, меняется и число возможных разделов. Получающийся числовой ряд называют «последовательностью Алкуина» 🔗 (Wolfram MathWorld).

У задачи обнаружилась и более неожиданная связь. После небольшого преобразования те же варианты раздела соответствуют треугольникам с целыми сторонами. Эту связь Дэвид Сингмастер подробно разобрал в статье 1990 года Triangles with Integer Sides and Sharing Barrels («Треугольники с целыми сторонами и раздел бочек») 🔗 (PDF, стр. 1 из 9).

Итог. Более ранних вариантов, из которых могла вырасти эта задача, найти не удалось. Её известная история начинается с уже готового условия. Зато дальнейший путь прослеживается гораздо лучше: поздних версий и пересказов оказалось множество.

Мы не собирали полный каталог пересказов, а выбрали только те, в которых обнаружился интересный поворот: изменились числа, появился новый реквизит, нашёлся конкретный автор или след задачи привёл в другую эпоху. К XX веку она уже свободно переходила из одного сборника в другой, а интернет окончательно перемешал бочки, банки, масло, вино, мёд, наследников и персонажей разных культур.

Мы тоже не стали нарушать традицию. Украли классику для вас, заменили масло биоплазмой, умирающего домовладыку — благородным бомжом по прозвищу Барон и предлагаем разделить его наследство уже в нашей абсурдной оболочке.

Сюжет. Максимально близко к латинскому тексту условие переводится так:

Некий король приказал своему служителю собрать войско из тридцати поместий. Из каждого поместья он должен был брать столько людей, сколько привёл туда. К первому поместью он пришёл один, ко второму — с другим человеком, а к третьему уже пришли трое. Пусть скажет, кто может, сколько людей было собрано из тридцати поместий.

Фраза о троих кажется ошибкой: после второго поместья в отряде уже должно быть четыре человека. Но служителя в условии считают отдельно. В первое поместье он приходит один. Ко второму его сопровождает один набранный человек. А к третьему с ним идут уже трое набранных. Вместе со служителем их четверо.

В оригинале сборщик назван famulus — служителем или слугой короля. Это важная деталь: он существовал до начала набора и сам не был взят ни из одного поместья. Поэтому вопрос «сколько людей было собрано из тридцати поместий» относится только к новобранцам.

В решении всё меняется. Служитель становится первым человеком в последовательности, а дальше считается весь отряд: один, двое, четверо и так далее. В окончательный ответ служитель тоже попадает.

Если автор хотел узнать общую численность отряда, расчёт правильный, но вопрос сформулирован неточно. Если же отвечать буквально — сколько людей набрали в тридцати поместьях, — в решении появился один лишний человек. Само удвоение посчитано верно, но условие и ответ считают разных людей.

Происхождение. Документальная история задачи начинается около 800 года. В сборнике Propositiones ad acuendos iuvenes («Задачи для изощрения юношества»), традиционно приписываемом Алкуину Йоркскому, она записана под № 13 — Propositio de rege et de eius exercitu («Задача о короле и его войске») 🔗 (издание Менсо Фолькертса, 1978; PDF-страница 41 из 72; печатная стр. 51).

Само математическое ядро этой задачи гораздо старше Алкуина. Тридцать последовательных удвоений встречаются в источниках разных эпох слишком часто, чтобы просто списать это на случайность. Чтобы понять, как менялась эта схема, рассмотрим родственные задачи в хронологическом порядке.

XIX–XVII века до н. э. — Мари. Табличка M 8613 происходит из Мари. В 1984 году французский ассириолог Дени Субейран опубликовал её под № 6 в статье Textes mathématiques de Mari («Математические тексты из Мари») 🔗 (CDLI, запись P390441).

На табличке записано удвоение исходного «зерна» по дням: в первый день — 2, во второй — 4, в третий — 8. По мере увеличения величины писец переходит от зёрен к шекелям, минам и талантам (мерам веса того времени). Середина таблички повреждена, но сохранились значения для двадцать восьмого, двадцать девятого и тридцатого дней. В сохранившемся тексте нет условия или рассказа — только расчёт 🔗 (Грегори Шамбон, Notations de nombres et pratiques de calcul en Mésopotамии («Запись чисел и практика вычислений в Месопотамии»), PDF-страницы 22–24 из 34; печатные страницы 24–26; на PDF-странице 24 — фотография таблички M 8613).

Обратите внимание: последовательность доведена именно до тридцатого дня.

Не позднее I века н. э. — P.IFAO 88. P.IFAO 88 — фрагмент расчётной таблицы, записанной греческими буквенными числовыми знаками. В ней приведена последовательность из 30 денежных величин, начиная с 5 медных драхм; каждое следующее значение вдвое больше предыдущего: 5, 10, 20, 40 и так далее.

Сходство с задачей Алкуина состоит в числе 30 и последовательном удвоении: в папирусе пронумерованы 30 позиций, а у Алкуина служитель обходит 30 поместий, при этом численность отряда каждый раз удваивается. Однако в папирусе нет ни короля, ни войска, ни рассказа о наборе людей, да и начальное число другое. Поэтому это не та же задача, а более ранний документ с похожей числовой структурой.

Бернар Буаваль датировал папирус не позднее I века н. э. Йоран Фриберг приводит его изображение, расшифровку и разбор в книге Unexpected Links Between Egyptian and Babylonian Mathematics («Неожиданные связи между египетской и вавилонской математикой») 🔗 (PDF-страницы 32–35; печатные страницы 19–22; изображение и расшифровка P.IFAO 88 — печатная страница 21).

952/953 год — аль-Уклидиси (Дамаск, исламский мир). В 952/953 году Абу-л-Хасан аль-Уклидиси написал Kitāb al-Fuṣūl fī al-Ḥisāb al-Hindī («Книгу разделов об индийском счёте»). В главе об удвоении единицы шестьдесят четыре раза он замечает: «Этот вопрос задают многие. Одни спрашивают об удвоении единицы 30 раз, другие — об удвоении её 64 раза».

Это уже не отдельная расчётная таблица, а прямое свидетельство того, что к X веку задачи на последовательное удвоение были распространены и встречались, в частности, с 30 и 64 удвоениями. Аль-Уклидиси не связывает второй случай с шахматами, но оба числа в его тексте уже упоминаются рядом.

В статье On the Origins of Islamic Algebra («О происхождении исламской алгебры») Йенс Хёйруп приводит это высказывание со ссылкой на перевод Ахмада Салима Саидана, а затем прямо сопоставляет 64 удвоения с классической индийской задачей о шахматной доске, а 30 — с задачей Алкуина о короле и его войске 🔗 (Erdem, 1986, том 2, № 5; PDF-страница 34 из 40; печатная страница 478).

1150 год — Бхаскара II (Индия). Бхаскара II — индийский математик и астроном XII века. В арифметическом трактате Līlāvatī («Лилавати») он предлагает такую задачу: «Человек сначала дал нищему две раковины каури и обещал ежедневно удваивать подаяние. Сколько нишек он отдаст за месяц?»

Последовательность состоит из 30 ежедневных выплат: 2, 4, 8 и так далее, до 2³⁰. Требуется найти их общую сумму за месяц — 2 147 483 646 каури.

Задача приведена под № 128 в переводе Генри Томаса Колбрука Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara («Алгебра, арифметика и измерения по санскритским трудам Брахмагупты и Бхаскары») 🔗 (Лондон, 1817; PDF-страница 151 из 478; печатная страница 55).

1256–1274 годы — Ибн Халликан (исламский мир). Ибн Халликан — арабоязычный историк и биограф XIII века. В труде Wafayāt al-aʿyān wa-anbāʾ abnāʾ al-zamān («Некрологи знаменитых людей и сведения о современниках») он приводит легенду об индийце Сиссе ибн Дахире, который изобрёл шахматы для царя Шихрама.

Восхищённый царь предложил Сиссе выбрать награду. Тот попросил положить одно зерно пшеницы на первое поле шахматной доски, два — на второе и затем удваивать число зёрен на каждом следующем поле до последнего. Царь счёл просьбу слишком скромной, но после подсчёта его служащие заявили, что для такой награды не хватит всей пшеницы в мире.

При шахматной доске из 64 полей это означает 2⁶³ зёрен на последнем поле и 2⁶⁴ − 1 на всей доске, то есть 18 446 744 073 709 551 615 зёрен. Ибн Халликан добавляет, что сам усомнился в невероятной величине результата и попросил одного из счётчиков, работавших в Александрии, показать ему вычисление.

Рассказ приведён в английском переводе Уильяма Мак-Гакина де Слейна Ibn Khallikan’s Biographical Dictionary («Биографический словарь Ибн Халликана») 🔗 (том 3; PDF-страницы 77–80 из 712; печатные страницы 69–72).

Итог: гипотеза Хёйрупа. Йенс Хёйруп относит такие задачи к «субнаучной математике» — практической математической традиции счётчиков, торговцев и других профессионалов, существовавшей вне учёной теоретической математики. Подобные знания могли передаваться от одного поколения практиков к другому и заимствоваться между разными культурами.

Само умение последовательно удваивать числа, по Хёйрупу, ещё ничего не доказывает: такой простой приём вполне мог возникать независимо. Поэтому особое значение он придаёт не удвоению как таковому, а повторению одного и того же необычного числа — 30. Ни свойства степеней двойки, ни правило геометрической прогрессии не требуют остановиться именно на тридцатом шаге, однако последовательности с числом 30 встречаются в Вавилонии бронзового века, римском Египте, каролингской Франции, средневековом Дамаске и Индии. Такие совпадения Хёйруп называет своего рода «индексными окаменелостями» (index fossils), способными указывать на передачу математической традиции. Вариант с 64 удвоениями он отдельно связывает с классической задачей о шахматной доске.

Возможной средой распространения подобных задач Хёйруп считает профессиональные торговые сети, простиравшиеся от Китая до Кадиса, и образно называет такие задачи «загадками у костра» профессиональных торговцев. Прямых свидетельств существования этой устной математической культуры не сохранилось, поэтому речь идёт именно о гипотезе, восстановленной по сходным письменным задачам из разных стран и эпох.

Эту гипотезу Хёйруп излагает в работе Sub-scientific Mathematics: Undercurrents and Missing Links in the Mathematical Technology of the Hellenistic and Roman World («Субнаучная математика: подводные течения и недостающие звенья математической техники эллинистического и римского мира») 🔗 (1990; PDF-страницы 15–16 из 50).

Послесловие. Историческая нестыковка позволяет читать задачу Алкуина на двух уровнях. Первый — вычислительный: нужно выполнить последовательное удвоение. Второй — текстовый: проверить, соответствует ли полученный результат тому, о чём задан вопрос. Именно этот второй уровень превращает старую ошибку в современную ловушку на внимательность.

А теперь — словами Алкуина: «Пусть скажет, кто может…»

Сюжет. Максимально близко к латинскому тексту условие переводится так:

Мужчине и женщине, каждый из которых весил столько же, сколько нагруженная повозка, вместе с двумя детьми, весившими вдвоём столько же, предстояло переправиться через реку. Они нашли лодку, которая могла выдержать не более веса одной нагруженной повозки. Пусть тот, кто считает это возможным, переправит их так, чтобы лодка не затонула.

В условии персонажи названы просто мужчиной, женщиной и двумя детьми. Семьёй они становятся в описании решения: женщина названа матерью, мужчина — отцом, а дети — сыновьями и братьями. Так становится понятно, что перед нами отец, мать и двое их детей.

Современная подача задачи уже отшлифована временем. То, что в латинском тексте приходится понимать из соотношения весов и последовательности действий, теперь обычно проговаривают прямо: лодка перевозит одного взрослого, одного ребёнка или двух детей, управлять ею может каждый, а вопрос звучит проще — как всем переправиться на другой берег?

Происхождение. Документальная история задачи начинается около 800 года. В сборнике Propositiones ad acuendos iuvenes («Задачи для изощрения юношества»), традиционно приписываемом Алкуину Йоркскому, она записана под № 19 — Propositio de viro et muliere ponderantibus plaustrum («Задача о мужчине и женщине, весивших столько же, сколько повозка») 🔗 (издание Менсо Фолькертса, 1978; PDF-страница 45 из 72; печатная стр. 55).

Сразу после неё в сборнике стоит задача № 20 — Propositio de ericiis («Задача о ежах»). В коротком условии упомянуты самец, самка и двое детёнышей, которые хотят переправиться через реку; там же говорится о весе в один фунт. Из этой фразы непонятно, чей именно это вес, а грузоподъёмность лодки не указана. Однако решение сохранилось полностью. Оно начинается словами Similiter, ut superius («Так же, как выше»), называет персонажей отцом, матерью, сыновьями и братьями и повторяет девять переправ из решения задачи № 19. Таким образом, задача о ежах прямо продолжает семейную переправу и использует ту же схему решения 🔗 (издание Менсо Фолькертса, 1978; PDF-страница 46 из 72; печатная стр. 56).

Эволюция переправ. Отдельного внимания заслуживает возможная эволюция именно семейной переправы. Её близкий родственник — задача об отряде солдат и двух мальчиках. Советский математик и популяризатор Борис Анастасьевич Кордемский включил её в сборник «Математическая смекалка», впервые изданный в 1954 году. Там она помещена под № 10 и названа «Переправа через реку (старинная задача)».

Лодка в этой версии выдерживает одного солдата или двух мальчиков. Мальчики переправляются вместе, один возвращается, солдат пересекает реку, а второй мальчик доставляет лодку обратно. Эта последовательность повторяется, пока весь отряд не окажется на другом берегу 🔗 (PDF-страница 8 из 14; печатная стр. 9).

Позднейшие переправные головоломки встречаются по всему миру, приспосабливаясь к местному фольклору, природе, культуре и повседневной жизни. Персонажи и обстоятельства меняются, но за ними часто узнаются схемы, уже представленные у Алкуина. Его задача о мужчинах и сёстрах родственна более поздним переправам ревнивых мужей, а затем — миссионеров и каннибалов. Волк, коза и капуста превратились в международный сюжет, в котором разные народы заменяли героев знакомыми им животными, растениями и предметами.

Со временем задачи усложнялись. В них появлялись рыцари и оруженосцы, лодки на трёх и более пассажиров, островки посреди реки и дополнительные персонажи. Старое ограничение обрастало новыми условиями и превращалось в другую историю. Вероятно, многие читатели смогут вспомнить собственный вариант такой переправы, не упомянутый здесь.

Итог. Мне не удалось найти ни одного достоверно датированного сюжета о переправе, записанного раньше алкуиновского сборника, составленного около 800 года. Это не доказывает, что подобных головоломок прежде не существовало: устные сюжеты могли веками передаваться без письменной фиксации. Однако мне удалось найти научное подтверждение этому наблюдению: историки математики Джон О’Коннор и Эдмунд Робертсон отмечают, что более ранние варианты алкуиновских задач о переправе неизвестны 🔗 (MacTutor History of Mathematics, Университет Сент-Эндрюса; после решения задачи № 17, заключительный абзац перед задачей № 18; обновлено в январе 2012 года).

На примере семейной переправы и задачи о солдатах хорошо видно, как одно математическое ядро обрастает сюжетом своей эпохи. У Алкуина это бытовая история о семье, а у Кордемского — сломанный мост, воинский отряд, офицер и двое мальчиков: узнаваемая рамка послевоенного советского времени. Разовая семейная переправа превращается в повторяемую операцию, способную провести через реку отряд любой численности.

Доказать прямое наследование или проследить непрерывную цепочку от Алкуина до каждого позднейшего варианта невозможно. Но пока более ранних письменных свидетельств не найдено, именно сборник, приписываемый Алкуину, остаётся отправной точкой документальной истории задач о переправе.