Задачи Баше

Сюжет. Это задача из старого и очень живучего типа арифметических головоломок, где несколько участников по очереди меняют общее положение дел по одному и тому же правилу. После полного цикла действий все оказываются в одинаковом положении, и нужно восстановить, с чего всё начиналось.

Внешняя форма может меняться: в одних версиях речь идёт о деньгах, в других — об игроках, крестьянах или бытовых историях. Но внутренняя схема остаётся той же: последовательные преобразования и решение через обратный ход.

Происхождение. Самый ранний найденный нами печатный источник этой задачи — Клод-Гаспар Баше де Мезириак, Problèmes plaisans et délectables («Приятные и занимательные задачи», 1624), задача VIII 🔗.

В русской традиции задача зафиксирована у Е. И. Игнатьева, «В царстве смекалки» (1908) 🔗. У Игнатьева эта же схема дана в той же конструкции, но уже в более наглядной форме — как задача о трёх игроках, где каждый по очереди даёт другим столько, сколько у них есть 🔗. В той же книге встречаются и более замаскированные варианты — например, сюжеты о крестьянах и дележе 🔗, где математическая схема скрыта внутри фольклорной оболочки. Такие версии ближе к устной традиции: задача подаётся как короткая история, а вычисление становится частью «смекалки», а не формального правила.

Помимо этого, в европейской традиции XVII века встречаются и другие печатные источники с той же конструкцией. Например, Recreations mathématiques («Математические развлечения», 1629) 🔗 и Récréations mathématiques et physiques («Математические и физические развлечения») Жака Озанама (1694) 🔗, где повторяется тот же принцип последовательных действий трёх участников с выходом на равный результат.

Итог. Таким образом, задачу нельзя связывать с одним автором. Баше выступает не как создатель, а как один из первых собирателей и фиксирует уже существующий тип задач в печатной форме. Наличие других источников XVII века показывает, что эта схема существовала в европейской традиции параллельно и, вероятно, распространялась как через книги, так и в устной форме.

Позднее она переходит в популярные сборники и учебные издания, где получает более наглядную и сюжетную подачу, как это видно у Игнатьева. Со временем такие задачи легко вписываются в фольклорные истории, сохраняя при этом свою внутреннюю структуру.

Приведённые здесь источники — лишь отдельные точки этой цепочки, которые позволяют проследить распространение задачи в разных традициях.

Сюжет. Есть неизвестное число. Его несколько раз пересчитывают разными способами, и каждый раз известен остаток. Нужно восстановить исходное число по этим следам деления.

Сама история может меняться от версии к версии, но основа одна: число неизвестно, а остатки известны.

... «Разбитую корзину яиц» я впервые встретил у Евгения Игнатьевича Игнатьева в книге «Математические игры, развлечения и задачи» 1904 года: №40, стр. 63 🔗 (Mathedu; задача 40). Это был сюжет на восстановление неизвестного количества по остаткам после нескольких пересчётов.

Сначала я его пропустил. Для этой истории нужно было рисовать картинку, а исходная сцена с женщиной, несущей огромную корзину яиц, выглядела слишком натянутой: будто к сухой арифметике наспех приделали бытовой эпизод. Механизм был хороший, но оболочка казалась написанной на коленке.

Позже я встретил этот же сюжет у Клода-Гаспара Баше де Мезирьяка и посмотрел на него внимательнее. Стало понятно, что это не случайная история про яйца, а старая арифметическая схема с длинной биографией. Тогда я решил всё-таки взять её для сайта, но немного поправить подачу: заменить обычные яйца на перепелиные, чтобы корзина выглядела правдоподобнее и в теории даже я мог её поднять.

Происхождение. Яичный сюжет этой задачи обычно связывают с Клодом-Гаспаром Баше де Мезирьяком. Его книга Problèmes plaisans et délectables («Занимательные и приятные задачи») впервые вышла в 1612 году; в ней есть задача о женщине с корзиной яиц: корзина падает, яйца разбиваются, а их число восстанавливают по остаткам от деления 🔗 (CNUM; позднее издание, стр. 135).

Сама математическая идея старше Баше: это общий приём, где неизвестное число находят по остаткам от деления.

Родственники. Ранний похожий пример — китайский трактат «孫子算經» («Математический канон Сунь-цзы»), III–V века н. э. 🔗 (MacTutor; ниже по странице, абзац “Problem 26 in Chapter 3”). В этой задаче неизвестное число ищут по остаткам: при делении на 3 остаётся 2, при делении на 5 — 3, при делении на 7 — 2. Ответ — 23.

Прямой дороги от этого китайского примера к европейским авторам здесь не видно, но сама арифметическая идея оказалась очень живучей.

У Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи, в Liber Abaci («Книга абака»), впервые составленной в 1202 году, описана почти та же схема: число при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 даёт остаток 1, а при делении на 7 делится без остатка. Этот пример приводит Ульрих Либбрехт в книге Chinese Mathematics in the Thirteenth Century («Китайская математика XIII века»), в главе “The Chinese Remainder Theorem” 🔗 (PDF стр. 25; печатная стр. 235, сноска 82).

Прямой передачи от Фибоначчи к Тарталье здесь тоже не видно, но к XVI веку задачи на остатки уже прочно закрепились в европейской арифметике. Никколо Фонтана, прозванный Тартальей, — один из авторов этой линии. Либбрехт называет его среди математиков, которые работали с такими задачами до Баше: рядом перечислены Пёйрбах, Кёбель, Якоб, Рудольф и Кардано 🔗 (PDF стр. 26; печатная стр. 236).

Позже Либбрехт приводит оценку Баше: Баше считал, что именно Сфорцунати и Тарталья не до конца поняли метод 🔗 (PDF стр. 50; печатная стр. 260). Это показывает, что задачи на остатки не просто переписывали, а постепенно разбирали и уточняли. У Баше эта тема получает уже более подробную обработку.

Интересный факт. В русском пересказе у Игнатьева есть важная тонкость: он говорит не просто об ответе, а о наименьшем числе. Это не случайная оговорка. Для таких задач одного набора остатков мало: после первого подходящего числа можно получать новые решения, прибавляя один и тот же общий шаг. Поэтому в занимательной математике формулировка решает всё: стоит забыть слово «наименьшее», и вместо одного ответа у задачи появляется бесконечный ряд подходящих чисел.

Итог. Так у «разбитой корзины» появляется не один изолированный источник, а несколько родственных формулировок одной старой арифметической идеи. Прямую линию от Сунь-цзы к европейским авторам здесь проводить нельзя, но сама задача на остатки оказалась удивительно живучей. С Баше и Игнатьевым связь осторожнее: Игнатьев сам называет Баше среди источников своей книги, а спустя почти три века похожий сюжет появляется уже в русском сборнике 1904 года. Менялись языки, авторы и оболочка задачи, но главное осталось тем же: неизвестное число восстанавливают по остаткам, а точность формулировки решает всё.

Сюжет. Несколько участников по очереди делят общее имущество — в нашем случае наследство. Первый берёт заранее заданное количество, а затем определённую долю оставшегося. Следующему полагается на одну единицу больше, после чего он забирает такую же часть от новой суммы. Несмотря на её постепенное уменьшение, в итоге всем достаётся поровну. Задача — восстановить размер наследства и число участников.

Происхождение. Сюжет этой задачи обычно связывают с Клодом-Гаспаром Баше де Мезириаком. Его книга Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres («Занимательные и приятные задачи, которые решаются с помощью чисел») впервые вышла в 1612 году; в ней описан человек, который перед смертью делит имущество между детьми по необычному правилу 🔗 (CNUM; позднее издание, стр. 158).

Однако история и здесь оказывается глубже, чем кажется. Математическая схема существовала задолго до Баше, а одна из исследовательских гипотез уводит её возможные корни ещё дальше — в Византию.

До Баше. Задолго до французского сборника почти такая же задача встречается у Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи, в Liber Abaci («Книга абака»). Труд был впервые составлен в 1202 году, а затем переработан в 1228 году. Наследство здесь тоже делят между сыновьями: каждый следующий получает всё большую фиксированную сумму и одну и ту же долю оставшегося, но в итоге всем достаётся поровну 🔗 (PDF, стр. 22, раздел 1.9 Exercises («Упражнения»), пункт 1 — A puzzle on inheritance («Задача о наследстве»)).

Не хочу утомлять вас парадом дат, дробей и ссылок, поэтому остальных родственников этой задачи сведу к короткой «дилетантской сводке». Помимо Фибоначчи, близкие варианты встречаются у Никколо Тартальи, где меняется дробная доля остатка, и Жана Бютеона, переставившего местами сами действия: сначала берётся определённая часть оставшегося, затем прибавляется фиксированная сумма. Это не точные копии текста Баше, а соседние ветви одной математической конструкции.

После Баше. Задача не исчезла — она лишь переодевалась. У Жака Озанама в Récréations mathématiques et physiques («Математические и физические развлечения») вместо скромных экю появляются десятки тысяч ливров. Математическая схема остаётся прежней, но старое завещание приобретает почти театральный размах 🔗 (CNUM; том I, стр. 185, CHAPITRE XI («Глава XI»), PROBLÈME I («Задача I»)).

Ещё позднее, в издании книги Баше 1884 года, подготовленном А. Лабосном, тот же сюжет переводится на язык обобщённой алгебры. Старинная головоломка становится учебным примером: теперь важно не только получить ответ, но и вывести формулу, объясняющую работу всей конструкции 🔗 (CNUM; стр. 158–161, задача VII; общее решение начинается ниже условия на стр. 158).

В XX веке старинная задача окончательно перебралась из сборников развлечений в учебную литературу. В советской книге Герша Исаковича Глейзера «История математики в школе» её герои уже делят рубли: первый сын получает 1000 рублей и восьмую часть остатка, второй — 2000 рублей и восьмую часть нового остатка, и так далее. Любопытно, что автор осторожно называет эту версию задачей, приписываемой Эйлеру 🔗 (стр. 126, задача 52, «Задача, приписываемая Эйлеру»).

Почти одновременно по другую сторону океана она появилась в книге Дьёрдя Пойа Mathematical Discovery («Математическое открытие»). Здесь наследство исчисляется в кронах: первый наследник получает 100 крон и десятую часть остатка, второй — 200 крон и десятую часть нового остатка, и так далее. Рядом с условием Пойа также оставляет недвусмысленную помету — Euler («Эйлер») 🔗 (PDF; кадр 73, печатная стр. 47, задача 2.21).

Дальше, в современные блоги, я лезть не хочу: там всё та же арифметика, только к наследству уже норовят приплести какую-нибудь биоплазму.

Итог. Когда я начинал собирать этот хаб, общей картины у меня не было. Я двигался снизу: от одной задачи к другой, от страницы к странице. Но постепенно из старых книг проступила подозрительно знакомая компания: Алкуин, Леонардо Пизанский (Фибоначчи), Никколо Тарталья, Жан Бютеон, Клод-Гаспар Баше де Мезириак, Жак Озанам и, уже в России, Евгений Игнатьевич Игнатьев.

На языке «Бригады индиго» это полноценная банда: столетиями они таскают друг у друга задачи, меняют героям имена, пересчитывают деньги и отправляют тот же сюжет гулять дальше. На языке истории математики всё немного скучнее и гораздо осторожнее. Не все перечисленные работали именно с этим наследством, и единой цепочки прямых заимствований между ними нет. Перед нами составители, учителя и популяризаторы, которые записывали, переделывали и объясняли уже ходившие по рукам задачи. Иногда источник заимствования очевиден, иногда виден лишь общий математический почерк.

И здесь у нашего наследства обнаруживается возможная византийская явка. Историк математики Йенс Хёйруп в статье The “Unknown Heritage” — Trace of a Forgotten Locus of Mathematical Sophistication («„Неизвестное наследство“ — след забытого центра математической мысли») рассматривает версию Максима Плануда конца XIII века и другие византийские следы задачи. Запись Плануда появилась позднее Liber abbaci («Книги абака») Фибоначчи, поэтому сама по себе ничего не доказывает. Однако устройство решения и география известных вариантов позволяют Хёйрупу предположить, что простая форма задачи могла возникнуть ещё в греческой Античности или средневековой Византии, а затем попасть в Сицилию либо Прованс 🔗 (PDF; кадр 47, печатная стр. 42, заключительный абзац раздела Who used pebbles? («Кто пользовался счётными камешками?»)). Сам исследователь подчёркивает: это гипотеза, а не установленный маршрут.

Именно здесь я, как человек, не имеющий академического авторитета и потому не боящийся его потерять, оставляю за собой право пролезть в эту лазейку. Я ставлю на кон весь свой дилетантизм, чтобы выбраться из круга Фибоначчи, к которому снова и снова возвращают сохранившиеся книги. Византию родиной задачи я не объявляю — лишь принимаю предложенную специалистом гипотезу и честно оставляю рядом соответствующую табличку.

Автор задачи неизвестен, а её византийское происхождение возможно, но не доказано. Всё остальное сделала «банда» — не преступная, а редакторская: подхватывала удачную конструкцию, переодевала её и передавала следующему веку. Паспорт задачи потерян, зато почерк сообщников узнаётся без труда.

Сюжет. В основе этой задачи лежит простой тип головоломок: имеется некоторый запас жидкости и несколько сосудов известной вместимости, но без делений и мерных отметок. Обычно в начале один сосуд наполнен, а остальные пусты.

Жидкость разрешается только переливать из одного сосуда в другой — пока первый не опустеет или второй не наполнится. Нельзя использовать дополнительные ёмкости, выливать часть жидкости или определять объём на глаз. Задача состоит в том, чтобы получить заданное количество жидкости или разделить её на равные части.

Происхождение. Задачу о трёх сосудах вместимостью 8, 5 и 3 меры традиционно связывают с французским математиком Клодом-Гаспаром Баше де Мезириаком. Его книга Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres («Занимательные и приятные задачи, которые решаются с помощью чисел») вышла в 1612 году.

В проверенном втором издании 1624 года под номером III описаны двое приятелей, которым нужно поровну разделить восемь пинт вина. Вино находится в сосуде на восемь пинт, а для деления имеются только два пустых сосуда — на пять и три пинты. Баше не ограничивается условием и приводит два способа решения 🔗 (CNUM; издание 1624 года, стр. 138, пункт III).

Эта печатная фиксация сделала Баше удобной отправной точкой, поэтому задачу нередко называют его именем или приписывают ему. Однако Баше, не был её создателем: сходная задача с вином и сосудами 8, 5 и 3 встречается в значительно более ранних текстах. К ним мы вернёмся дальше.

За четыре века до Баше. Самый ранний найденный нами источник этой задачи — Annales Stadenses («Штаденские анналы») Альберта Штаденского, хроника, начатая около 1240 года. В диалоге Тирри и Фирри один из собеседников везёт своему господину восемь мер вина, а у другого есть сосуды на пять и три меры. Первый обещает отдать половину, если встречный сумеет разделить вино поровну — по четыре меры каждому 🔗 (Monumenta Germaniae Historica; том XVI, стр. 333, строки 45–64).

Оригинальная редакция хроники утрачена. Текст известен по единственной рукописи XIV века — сокращённой переработке, дополненной Annales Lubicenses («Любекскими анналами») за 1264–1324 годы. Кодекс Cod. Guelf. 466 Helmst. хранится в Herzog August Bibliothek (Библиотеке герцога Августа) в Вольфенбюттеле 🔗 (разделы Beschreibung («Описание») и Handschriften — Mss. («Рукописи»)).

Средневековое путешествие. В XIV веке в Trattato d’aritmetica («Трактате по арифметике») Паоло дель Аббако записана задача с сосудами вместимостью восемь, пять и три унции. Сосуд на восемь унций наполнен, два остальных пусты; требуется отмерить четыре унции. Жидкость автор предлагает считать бальзамом. 🔗 (задача № 66, страница 62).

На рубеже XV–XVI веков Лука Пачоли приводит винную версию в De viribus quantitatis («О силах величин»). Двум людям нужно поровну разделить восемь мер вина, располагая только пустыми сосудами на пять и три меры. 🔗 (страница 7, раздел Un Indovinello Medievale («Средневековая загадка»)).

Амедео Агостини указывает эту задачу под номером LIII — A partire una botte de vino fra doi («Разделить бочку вина между двумя») — и отмечает родственные варианты у более ранних авторов. По его словам, у Баше было достаточно подобных примеров для формулировки третьей задачи второй части своего сборника. 🔗 (страница 23 PDF, печатная страница 186, раздел LIII).

Русский след. В русской традиции полное имя обычно включает отчество — слово, родственное «отцу» и «Отечеству». Однако имя издателя этой книги сохранилось в более краткой, привычной для Запада форме: Иван Краснопольский. В 1789 году на его средства вышла «Гадательная арифметика для забавы и удовольствия» 🔗 (страница просмотра 39; печатная страница 39, задача XXIV) — небольшая книга на 62 страницах, вместившая 41 задачу. Она отчасти самобытна: русская подача в ней соседствует с сюжетами старых европейских авторов и популяризаторов.

В задаче XXIV сосуд с восемью кружками вина предлагается разделить поровну с помощью двух пустых сосудов вместимостью пять и три кружки. Это самая ранняя из найденных нами русских версий задачи.

Более века спустя та же схема вошла в «Царство смекалки» Емельяна Игнатьевича Игнатьева 🔗 (страница просмотра 27; печатные страницы 52–53, задача 35 «Делёж между двумя»). Старинная задача вновь появилась перед русским читателем, сохранив вино, три сосуда и исходные объёмы — восемь, пять и три.

Итог. За восемь веков вино успело превратиться в бальзам, воду и другие жидкости, а бочки и кувшины — в банки и канистры. Одна из самых узнаваемых современных версий появилась в фильме Die Hard with a Vengeance («Крепкий орешек 3: Возмездие»): героям требуется с помощью сосудов на пять и три галлона отмерить ровно четыре галлона воды. 🔗 (Popular Science; разбор задачи из фильма).

Декорации меняются, но математическое ядро остаётся прежним. Каждый сосуд может быть пустым, полным или содержать определённый объём, а каждое переливание переводит всю систему из одного состояния в другое. Решение — это путь по такой карте состояний, а кратчайший путь даёт минимальное число переливаний.

Баше не придумал эту задачу, но стал одним из важных звеньев в её долгом путешествии. Средневековые хроники, арифметические трактаты, русские сборники и современное кино рассказывали одну и ту же математическую историю на языке своего времени. Наш учёный с научным самогоном — лишь новая оболочка задачи, которая продолжает переливаться из века в век.

Сюжет. Группа людей оказывается перед жестоким выбором: одним предстоит погибнуть, другим — спастись. Участников располагают по кругу или в определённом порядке, после чего начинают считать и через установленное число исключают очередного человека.

Счёт продолжается среди оставшихся. Нужно заранее определить такое расположение участников или выбрать такое место, которое позволит нужным людям уцелеть.

Первоисточник. Сюжетный корень задачи принято искать в книге Иосифа Флавия Bellum Judaicum («Иудейская война»), написанной примерно в 75–79 годах н. э. После падения Иотапаты Иосиф укрылся в пещере вместе с сорока спутниками. Они предпочли смерть плену и решили по жребию определить порядок, в котором будут убивать друг друга.

В конце в живых остались Иосиф и ещё один человек. Иосиф убедил его отказаться от смерти и сдаться римлянам 🔗 (книга III, раздел 342; ниже по странице — разделы 387–391).

Однако в рассказе самого Иосифа нет круга, постоянного шага счёта и задачи на поиск безопасного места. Он объясняет своё спасение случаем или Божественным промыслом. Поэтому древний текст содержит сюжетную основу будущей головоломки, но ещё не её математическую форму.

Славянская версия. Иначе этот эпизод изложен в славянской версии Bellum Judaicum («Иудейская война»). Здесь появляется отсутствующая в дошедшем греческом тексте деталь: Иосиф якобы воспользовался заранее рассчитанным счётом.

Американский исследователь Луис Фельдман в книге Josephus and Modern Scholarship (1937–1980) («Иосиф Флавий и современная наука, 1937–1980») приводит формулировку славянской версии: “he counted the numbers with cunning and thereby misled them all” («он хитро рассчитал числа и тем обманул их всех») 🔗 (PDF-страница 105, печатная страница 89, раздел 8.5 Josephus’ Surrender at Jotapata («Сдача Иосифа при Иотапате»), последний большой абзац).

Это расхождение не позволяет установить, как Иосиф спасся в действительности. Был ли перед нами другой вариант сюжета, свободный пересказ или поздняя переработка при переводе, по одному фрагменту определить нельзя.

Тарталья раньше Баше. В 1556 году, за 56 лет до первого издания книги Баше, итальянский математик Никколо Тарталья поместил сходную задачу в General trattato di numeri et misure («Общий трактат о числах и мерах»).

В ней также фигурируют две равные группы — 15 белых и 15 чёрных, или 15 турок и 15 христиан. Тарталья рассматривает исключение при разных шагах счёта, от трёх до двенадцати; в этот ряд входит и каждый девятый. Дэвид Сингмастер указывает точное место: статья 203, листы 264v–265r 🔗 (прокрутите страницу вниз до раздела 7.B. JOSEPHUS OR SURVIVOR PROBLEM («Задача Иосифа, или задача об уцелевшем»), затем найдите запись, начинающуюся словами Tartaglia. General Trattato, 1556, art. 203).

К Иосифу Флавию Тарталья не отсылает. В его книге это самостоятельная счётная конструкция. Она не доказывает авторство Тартальи, но показывает более скромный и важный для нас факт: вариант «15 и 15» с шагом 9 появился в печати раньше Баше.

Баше. В 1612 году Клод-Гаспар Баше де Мезириак выпустил первое издание книги Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres («Занимательные и приятные задачи, которые делаются при помощи чисел»). В доступном издании 1884 года нужный текст помещён под номером XXIII.

На одном корабле находятся 15 христиан и 15 турок. Во время бури ради спасения судна необходимо выбросить за борт половину людей. Участники становятся по порядку, после чего каждого девятого отправляют в море. Требуется расположить всех так, чтобы были выброшены 15 турок, а христиане остались живы 🔗 (издание 1884 года, страницы 118–121, задача XXIII).

Для запоминания расстановки Баше приводит фразу:

Mort, tu ne falliras pas
En me livrant le trépas!

«Смерть, ты не промахнёшься, предав меня погибели».

Каждой гласной соответствует число: A — 1, E — 2, I — 3, O — 4, U — 5. Числа обозначают длину следующих друг за другом групп христиан и турок:

4Х — 5Т — 2Х — 1Т — 3Х — 1Т — 1Х — 2Т — 2Х — 3Т — 1Х — 2Т — 2Х — 1Т.

Расстановку можно получить и без стихотворной подсказки. Для этого отмечают 30 мест и последовательно вычёркивают каждое девятое. Вычеркнутые места отдают туркам, оставшиеся — христианам.

Задача у Баше сформулирована шире одного примера. Вместо 30 участников можно взять другое количество, изменить число тех, кого необходимо исключить, и считать не каждого девятого, а каждого десятого или любого другого. Для новой задачи расстановка рассчитывается заново тем же способом.

В конце задачи Баше возвращается к уже описанному спасению Иосифа при Иотапате. Он ссылается на De excidio Hierosolymitano («О разрушении Иерусалима») — анонимную латинскую переработку «Иудейской войны», автор которой известен как Псевдо-Гегесипп 🔗 (Карсон Бэй, статья о Псевдо-Гегесиппе в Ancient Jew Review). Точного порядка убийств в этом тексте нет, поэтому Баше предлагает собственную реконструкцию событий.

Вместе с Иосифом в убежище находились 40 человек — всего 41. Баше предполагает, что они решили убивать каждого третьего. Расчёт показывает, что для спасения Иосиф должен был занять 31-е место после человека, с которого начинался счёт.

Название ludus Josephus («игра Иосифа») встречалось у Джироламо Кардано ещё в 1539 году. У Баше эта связь представлена подробно: к рассказу о спасении Иосифа добавлены постоянный шаг счёта и рассчитанное безопасное место.

Позднее весь тип таких задач получил название Josephus problem («задача Иосифа Флавия»). В современной формулировке людей располагают по кругу и последовательно исключают каждого k-го. Требуется определить место последнего выжившего или нескольких участников, которые должны остаться.

Название связано с историей спасения Иосифа, но не означает, что он придумал или записал эту задачу. В его книге говорится о жребии; постоянный шаг счёта и безопасное место относятся к позднейшей математической версии.

География. В сети встречается множество вторичных источников и пересказов этой задачи: в них меняются страны, участники и обстоятельства. Перечислять все версии я не буду и ограничусь одним проверяемым примером.

В Японии эта задача известна как 継子立て (мамакодатэ, «расстановка пасынков»). Она представлена в книге Ёсиды Мицуёси 塵劫記 (Jinkōki, «Трактат о больших и малых числах») 1627 года 🔗 (Альбрехт Хеффер и Андреас М. Хинц, “A difficult case”: Pacioli and Cardano on the Chinese Rings («„Трудный случай“: Пачоли и Кардано о китайских кольцах»), PDF-страница 6, печатная страница 10, рисунок 5 и абзац под ним).

У богатого крестьянина было 30 детей: 15 от первой жены и 15 от второй. Вторая жена хотела передать наследство одному из своих детей. Всех поставили в круг и начали исключать каждого десятого. Сначала из числа наследников выбыли четырнадцать детей первой жены. После этого счёт продолжили в обратном направлении, начиная с последнего оставшегося пасынка. Теперь выбыли все дети второй жены, а наследство досталось пасынку 🔗 (Дэвид Юджин Смит и Миками Ёсио, A History of Japanese Mathematics («История японской математики»), 1914, печатные страницы 82–83).

Итог. Возникали ли подобные сюжеты независимо друг от друга или восходят к общему предку, оставлю на усмотрение читателя. Сохранившиеся тексты не позволяют уверенно восстановить путь задачи между странами и эпохами. Приведённые здесь примеры — лишь реперные точки, а не звенья доказанной цепи. Дат, стран и сюжетов значительно больше, чем вместил этот обзор.

Тарталья не был автором задачи. Его текст — лишь самое раннее её изложение, которое мне удалось найти. Более древний источник ещё может обнаружиться, но приписывать создание задачи первому известному нам автору было бы ошибкой.

Особое место в этой истории занимает Баше. Он не просто записал очередной сюжет, а придал задаче яркую и запоминающуюся форму, показал способ построения расстановки, предложил мнемоническую подсказку, распространил метод на другие числа и связал его с историей спасения Иосифа. Поэтому Баше можно назвать главным популяризатором не только этой задачи, но и целого семейства задач на круговое исключение.

Теперь вернёмся к истории, с которой начали. Остров людоедов, 15 чиновников и 15 работников — сюжет нарочито наивный, хотя выбранные для него роли едва ли утратили актуальность. Он не претендует на историческое происхождение: это наша современная оболочка для старой числовой схемы.

Осталось решить задачу.